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Connor huobi火币网 2023-09-17 69 0

来源：文渊金融读书

作者：熊猫交易员

　　都说期权和随机数学折磨人，好歹Change of Numeraire和RiskNeutral Measure还有直观的意义。然而HJM模型的直观解释，我一直没有找到，所以自己动手写一个。

　　Question: 你是赵氏投行Head of Fixed Income Trading。赵国债市可做空做多，有国债金融债公司债，可以交易现券、Interest Rate Swap和Swaption，而且Volatility相当稳定，但由于一条很奇怪的监管规定，所有债券期限最长就是10年。这天有个大企业来了，想跟你做一笔30年期的Interest Rate Swap，请问你如何确定这笔Swap的固定利率？

　　Answer: 所谓Volatility相当稳定是一个很强的暗示，对冲这笔IRS的参考方案：以Duration倍数的10年期Interest Rate Swap对冲Duration，再以Swaption对冲其Convexity。对冲成本+ 合理利润= 固定利率报价。

　　回顾期权课程的内容，我们知道如下三个说法指的是一回事：

　　（1）DerivativeSecurity的价格是Underlying Security的非线性函数，

　　（2）DerivativeSecurity的Gamma（亦即二阶导数）非零，

　　（3）UnderlyingSecurity的价格上涨下跌的时候，Derivative Security的价格上涨下跌不对称。

　　最典型的正Gamma的Derivative Security比如Call Option，上涨的时候涨的多，下跌的时候跌的少，所以同样的到期日，一个Call Option比一个Forward占便宜，因此，Call Option的价格必须是正数，否则就存在Arbitrage. 所以，如果你买的债券里附送你一个Option，按道理你应该少要求一点票息。

　　尴尬的是，即使最简单的零息债券，如果我们把它的价格看成是短期利率的函数，亦即，我们将发现对显然是一个非线性函数。如果让不可捉摸的变成一个随机变量，我们甚至可以用这个非线性函数计算出价格对的Gamma，事实上，这个Gamma有一个更为债券从业人员所熟知的名字，叫做Convexity. 对于比较短的债券，比如2年以内的，Convexity的影响比较小，可以忽略，但是当收益率波动较大、债券期限较长或者债券有一些特殊的偿付结构（比如提前赎回）等情况下，Convexity的影响可能会非常大。以30年期美国国债为例，下图取自Soloman Brothers著名的Understanding the Yield Curve第5篇Convexity Bias and theYield Curve，如果开头的Q&A是发生在1995年9月1日的美国债券市场，我们试着计算一下。可以假设隔夜回购Financing利率与1年期Par Bond收益率相等，那么Duration对冲（从业人士更喜欢说是“DV01对冲”）组合的Carry为(12.66/7.20)*(6.47-5.73) = 1.30，再加上短期利率5.73，得到一个7.03的利率，但是Convexity的对冲成本是年化(12.66/7.20)*0.27- 0.88，高达40Bps！所以我们对客户的报价是7.03 - 0.40 = 6.63而不是7.03。更有意思的是，如果Vol上升，你的直觉可能认为30年期收益率应该升高，以弥补超长期债券较高的价格波动风险，但是你的计算表明，Vol越高，超长期债券收益率应该越低！

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　　受Convexity影响，长期限债券的息票率可能出现可观的下降，这个现象叫做Convexity Bias.然而这个影响不限于长期债券，只要哪里Convexity出现变化，我们都需要赶紧调整Carry，补偿Convexity的损失，称为Convexity Adjustments. Hull(2014)第30章用三个实例做了很详细的讨论，在此不赘述。需要指出的是，有很多貌似人畜无害的产品，都可能默默的掺了不少Convexity进去。例如挂钩10年期国债利率的Constant Maturity Swap，直觉上像是一个为懒得定时展期的Trader准备的贴心产品，其实奥秘无穷，16年前读硕士的时候就听到狗剩家利用这个ConvexityTrick向欧洲小银行征收智商税，如今一阵香风把他们刮到人民币市场来了。

　　Convexity，或者说Gamma的影响，还远不止于这些“憨厚”的产品需要的Convexity Adjustments，而是渗透到债券的每个角落。我们注意到即使是最简单的零息债券B(0,T)，其Convexity也是Duration的平方，不是期限的线性函数。这意味着Duration相同的债券投资组合，比如一个1年期的债券和一个Long30Yr/Short 29Yr的债券投资组合，Convexity可以差别极大。所以29年和30年债券之间的Spread，必须反应出这个调整。不然就有聪明的OptionTrader利用Bond Option来套利。可怜我们很多债券交易上的直觉，都被债券期限结构和债券期权市场的这种Convexity联系，活脱脱怼成了误区。例如债券交易员们下意识往往认为利率围绕一个中枢上下波动，比如著名的Vasicek 模型drt=(θ-αrt)dt+σdWt。现在我们马上意识到，这个模型根本没有办法反应Convexity的影响，按这个模型交易债券和债券期权，会制造无数的套利机会。

　　算繁乘复疑无路，柳暗花明又一村。我们看利率曲线的时候，除了看短期利率，还可以看远期Forward，而Forward利率天然就是Rolldown，里面已经包含了Duration，省了好多功夫。所以，合理的方式，应该是分析29年到30年之间的远期Forward，而不是短期利率r. 按照直觉，如果Forward曲线有波动，那么为了用Carry弥补Convexity Adjustment，长端的Forward利率（比如29年期到30年期）相比短端的Forward利率（例如现在到1年期），应该有一个移动中枢是0.5*Vol2，既不能多也不能少，否则都会被Arbitrage！（此处默默有一个Change of Measure，读者可以自己悟）但这个结果不太好用，因为相比猜一个Forward利率的最终结果，研究Forward曲线的演化路径对我们更有意义。如果我们能观察出从现在开始第29年到第30年的Forward利率应该在第1年、第2年...第29年合理的变化路径，我们不仅可以计算30年期债券收益率，还可以一口气计算出整条利率曲线上的所有债券和债券衍生品价格，更可以顺带算出如Q&A中描述的对冲组合，从而把潜在的Arbitrage填上。何况我们还要考虑到不同期限的利率曲线波动可能不一样（这是必须纳入考虑的），这都是只能通过在利率曲线逐步演化中计算得出的。一个直觉是，每年Forward的移动中枢，应该是0.5*Vol2的增量，亦即?Vol*Vol。恭喜你，直觉终于对了一次！

　　1992年，利率期限结构理论方面最重要的一篇论文，由Heath, Jarrow和Morton发表在Econometrica上。他们用Forward利率为入手点，绘制了一个精妙的利率期限结构图。一般的，如果t时刻，到期日T附近的Forward利率f(t,T)按如下方式波动，dr(t,T)=μ(t,T)+σ(t,T)dWt，那么，使用Risk Neutral Measure对债券或者其衍生品定价时，μ(t,T)只受一个公式决定，亦即

　　HJM模型和之后的进一步发展如Brace-Gatarek-Musiela模型，使得Interest RateTerm Structure形成一个完整的体系。自那以后，Carry和Volatility终于一体，债券狗们再也不用担心交易账户里被埋下Arbitrage了。

　　后记：

　　99%的金融，都只需要用到加减乘除。卖方狗需要绞尽脑汁怼Arbitrage，而买方大佬只需要随意加杠杆就可以了，Period。

　　参考资料：

　　1. 熊猫笔记，20160229

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　　2. John Hull, Options, Futures and OtherDerivatives, Wiley, 2014

　　3. Soloman Brothers, Convexity Bias and the YieldCurve, 1995

　　4. Heath, Jarrow, Morton. Bond Pricing andthe Term Structure of Interest Rates: A New Methodology for Contingent ClaimsValuation. Econometrica, 1992

　　5. Brace, Gatarek, Musiela. The Market Modelof Interest Rate Dynamics, Mathematical Finance, 1997

　　后语感谢各位作者辛苦付出，所有内容不代表所在机构观点，如有侵权，请联系后台删除。

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